Überlegungen zur Teilbarkeit von Zahlen

Es gibt ein paar Regeln, um schnell im Kopf und ohne einen Computer oder Taschenrechner festzustellen, ob eine Zahl (in dem von uns verwendeten Dezimalsystem) durch bestimmte andere Zahlen teilbar ist.

• Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die letzte Ziffer gerade ist.
• Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme durch 3 teilbar ist.
• Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn ihre letzten beiden Ziffern (als Zahl geschrieben) durch 4 teilbar sind.
• Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer durch 5 teilbar ist, also 0 oder 5 ist.
• Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist.
• Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn ihre letzten 3 Ziffern durch 8 teilbar sind.
• Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme durch 9 teilbar ist.
• Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist.
• Eine Zahl ist durch 12 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 4 teilbar ist.
• Eine Zahl ist durch 15 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 5 teilbar ist.
• Eine Zahl ist durch 20 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 und ihre vorletzte Ziffer gerade ist.
• Eine Zahl ist durch 25 teilbar, wenn ihre letzten beiden Ziffern durch 25 teilbar sind (also 25, 50 oder 75 sind).
• Eine Zahl ist durch 100 teilbar, wenn ihre letzten beiden Ziffern Nullen sind.

Diese Liste kann noch weiter fortgesetzt werden. In der Liste fehlen aber einige Ziffern. Was ist mit 7? Gibt es auch dafür eine Regel? Was ist mit weiteren Zahlen wie 11 oder 13? Gibt es auch Regeln für etwas größere Zahlen?

Ich will hier versuchen, Regeln auch für andere Zahlen aufzustellen und einigen der oben erwähnten Regeln nachgehen. Man hat hier zwei Zahlen, die unterschieden werden müssen: Als erstes gibt es die zu prüfende Zahl, deren Divisionsrest ermittelt werden soll, also der Dividend. Als zweite Zahl hat man die Zahl, durch die dividiert wird (der Divisor). Die Regeln sollen für die unterschiedlichen Divisoren erstellt werden.

Durch Anwenden einer solchen Regel soll gewährleistet sein, daß von einer Ausgangszahl nur das Vielfache eines Divisors abgezogen wird und daher der Divisionsrest gleich bleibt. Durch wiederholte Anwendung der Regel kommt man zum Divisionsrest.

Mit der Berechnung durch einen Computer können diese Verfahren natürlich nicht mithalten. Wenn man aber gerade keinen Computer zur Hand hat, kann man die Berechnung leichter im Kopf durchführen.

Es sollen auch nicht beliebig große Divisoren betrachtet werden, sondern ein paar im "Kopfrechen-Bereich".

Die einzelnen Verfahren sollen jeweils mit der Zahl 12345 demonstriert werden, um die Regeln leichter verständlich zu machen.